设a为n阶方阵,a2=a（设A为N阶方阵则A **等于）

设A为n阶方阵,且A2=A,证明:若A的秩为r,则A-E的秩为n-r,其中E是n阶单位...

故A-E的每个列向量都是方程Ax=0的解；由于A-E中的列向量未必构成解空间的基，所以R（A）+R（A-E）小于等于n；又由R（A）+R（B）=R（A+B）；可得R（A）+R（A-E）=R（A）+R（E-A）=R（A+E-A）=R（E）=n；所以R（A）+R（A-E）=n。

你的题目抄错了，大概是下面这个问题吧，利用两个关于秩的定理来证明，其中的I就是单位阵E。

A-A=O A（A-E）=O 所以 R（A）+R（A-E）=n （1）又 A+（E-A）=E 所以 n=R（E）=R（A+（E-A）=R（A）+R（E-A）=R（A）+R（A-E）即 R（A）+R（A-E）=n （2）由（1）（2）得 A的秩+（A -E）秩=n。

所以，可得｜A-E| = 0。性质：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在rmin（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。初等变换不改变矩阵的秩。如果A可逆，则r（AB）=r（B），r（BA）=r（B）。矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

设A是n阶方阵,a1、a2是其次线性方程组AX=0的两个不同解向量,则|A|=...

1、因为r（A）=n-1，所以基础解系由一个非零解向量组成，4个选项的向量都是解向量，只有α1-α2一定非零，所以答案是C。经济数学团队帮你解请及时采纳。

2、你好！R（A）=n-1，所以方程AX=0的基础解系只含有一个向量，由于a1-a2是一个非零解，所以通解是k（a1-a2）。不能用k（a1+a2）的原因是a1+a2有可能是零向量。经济数学团队帮你解请及时采纳。

3、该n元齐次线性方程组AX＝0有一个线性独立的解。为保证非零解只有D非零，因为已知两个解不同，所以D可以保证非零。

4、因为A的秩为n-1，故Ax=0只有一个线性无关的非零解。现a1与a2是方程组的解，则a1-a2也会是方程组的解。且a1不等于a2，故a1-a2不等于零。则k（a1-a2）必定是Ax=0的通解。关键就是a1-a2不等于零。

5、秩为n-1，说明方程组只有一个自由未知量，基础解系中应该只有一个向量（且是非0向量）。现在a1，a2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解向量，其中可能有一个为0向量，但这两个向量的差绝对不会是0向量，所以通解是k（a1-a2）。

设A是N阶方阵,若A2=A,,证A不是可逆矩阵或者A=I

1、|A|=0时A为不可逆矩阵。|A-E|=0时，A可逆。由于r（AB）=r（A）+r（B）-n，又A（A-E）=O，r（A-E）必须为0。所以A为单位阵。

2、证明过程如下：A*=ATAA*=AAT而AA*=|A|EAAT=|A|E然后用反证法，假设A不可逆，即|A|=0则AAT=0E=O根据一个矩阵乘以其转置矩阵为零矩阵时，这个矩阵必为零矩阵。于是A=O，这与题设矛盾，所以假设不成立。所以A是可逆阵。

3、因为 A^2=A 即 A^2-A=O A（A-E）=O 如果A可逆，那么 两边同左乘A的逆，得 A-E=O A=E 和已知矛盾 所以 A不可逆，即 A一定是降秩矩阵。

4、设A为n阶可逆方阵，A*为其伴随矩阵。需要证明的是，若A可逆，则A*不可逆。首先，我们给出|A|≠0的答案。若A可逆，根据可逆矩阵的性质，可知|A|≠0。根据伴随矩阵的性质，A*也为可逆矩阵，即|A*|≠0。当|A|=0时，我们需要进一步证明A*不可逆。

5、你好！（En-2A）（En-2A）=En-4A+4A^2=En，所以En-2A可逆且逆矩阵就是En-2A。经济数学团队帮你解请及时采纳。

如果n级矩阵A满足A2=A(此时称A是幂等矩阵),则rank(A)+rank(I—A)=n.

1、进一步深入，如果A是n阶实对称幂等矩阵，其特征值的特性更为明显：非零特征值为1，其余为0。并且，通过正交矩阵Q，我们可以将A转换为对角矩阵 diag，显示出更直观的结构。

2、A^2 = A ， A^2 - A = O， A^-A-2E = -2E （A+E）（A-2E） = -2E， -（1/2）（A+E）（A-2E） = E 故 A + E 可逆，逆矩阵是 -（1/2）（A-2E）；A - 2E 可逆，逆矩阵是 -（1/2）（A+E）。

3、A+B为等幂矩阵的条件是：AB+BA=0。

4、Frobenius的馈赠： Frobenius秩不等式（rank（A） + rank（A^T） = rank（AA^T），则像是一份优雅的礼物，揭示了矩阵变换与线性空间的深层联系。更深入的证明技巧，如矩阵运算的巧妙运用，线性无关组的编织，以及秩概念的精妙融合，构成了矩阵证明题集的丰富内容。

5、矩阵对角化的条件和步骤是A2=A 可以x2-x=0看作A的一个零化多项式，再由无重根就可得到该矩阵可对角化。